期貨與選擇權
第四講次 期貨與避險(Hedge)
§1.基本原理
利用期貨避險有兩種方式：
1. 做空避險(Short hedge)：當避險者已擁有(或將擁有)一項資產，而預期將在未來某時點出售，因擔心未來現貨價格下跌，則他可以利用期貨做空避險，以鎖定未來的收入。即採用期貨的空頭部位來對現貨避險。做空避險者如農人擔心未來農產品價格下跌、出口商擔心未來外匯收入匯率下跌、投資組合管理人擔心未來股價下跌…等。
2. 做多避險(Long hedge)：當避險者知道將在未來某時點買進一項資產，因擔心未來現貨價格上漲，則他可以利用期貨做多避險，以鎖定未來的成本。即採用期貨的多頭部位來對現貨避險。做多避險者如製造商未來原料價格上漲、進口商擔心未來外匯支出匯率上揚…等。
§2. 基差風險(Basis Risk)
1. 基差之定義：
基差( )代表現貨( )與期貨( )價格的差距，即
(1)
基差反應持有成本的變化。若單位時間的持有成本固定，則基差是可預測的。
2. 基差風險(basis risk)
若避險者所欲避險的期間與期貨合約的到期日不同時，且單位時間的持有成本不再固定時，則避險的效果可能發生基差風險。
令 ( )時，基差為 ，現貨價格為 ，期貨價格為 。在 ( )時(到期日 )對現貨做空避險，而在 時結束避險部位並出售現貨。則該避險者實質有效收入(effective income)為：
有效收入= = (2)
其中， 為已知， 為未知(隨機變數)，故有效收入為不確定，有風險。
3. 欲避險標的物與期貨標的物時之基差
令 代表第i品質現貨(即欲避險標的物)價格， 代表期貨標的物價格，則基差 定義為
(3)
上式中，基差可拆解為兩項。第一項( )為期貨標的現貨價格與期貨價格的差距，為標準基差或稱為時間基差(time basis)；第二項 為第i品質現貨價格與期貨標的現貨價格的差距，稱為地點與等級基差(space and grade basis)。對某些期貨而言，可交割商品的等級有很多種，交割地點有多處，因此space and grade basis決定於運輸成本與等級上的差異。
一、Traditional hedge
有效避險(effective hedge)：如果標的物的現金價格(cash price)與該商品期貨價格之變化相同。
Fully effective hedge：避險者利用賣空期貨來對持有現貨避險，如果避險者恰好 無淨利或淨損，則為Fully effective hedge（此時由basis之變化所得到的利益恰好被持有現貨的持有成本所抵銷）
二、Basis Risk
ineffective hedge：如果期貨價格與標的商品價格不能以持有成本率(carrying cost rate)逐漸收斂時，避險就不是完全有效的。
如果 偏離了每月的固定基差，就會產生basis risk。一般而言，基差如非預期的變大（或變弱），賣空避險(short hedge)就會產生損失。如基差並非預期的變小（或變強），賣空避險就會有利得。至於損益的大小決定於避險者的持有成本。如果持有成本不是固定，避險的利益可能被較高的儲存成本所抵銷，而避險的損失也可能被較低的儲存成本所抵銷。
此說明存貨的持有者面對兩種風險：
1.商品本身價格的變動
2.持有成本的變動
期貨市場也許對於第一種的避險完全有效，但對第二種風險則無法有效。
總結：
如避險者持有可交割的商品而利用期貨避險，則面對兩種風險：
1.利用期貨可消除商品的價格風險
2.Carrying Cost Risk
a.未能鎖定持有成本(carrying cost)時，如成本未預期的增加，賣空避險者將產生損失。反之，如持有成本下降，賣空避險者，從中得利。
b.能鎖定持有成本，則可從避險中消除basis risk
c.事先建立商品的持有成本，也許不大可能。因此會造成商品持有人，因不確定的持有成本而遭受basis risk
d.當商品是可交割時，利用期貨避險的唯一基差風險為持有成本風險
三、Hedging non-deliverable commodities
此時避險者，除了面臨 (1)持有成本風險外，他也面臨 (2)commodity price risk而且 commodity price risk , 無法完全消除掉，因為現金價格與期貨價格在到期日時，不一定會收斂在一起。
Cross-hedge（實務上，大多數屬之）：利用期約來對非交割的商品來避險的情況。如 (a)用銀期貨對白金避險, (b)股價指數期貨對單一股票避險, (c)用T-bond對公司債避險
四、Optimal Hedging-Mean / Variance Approach
期貨的大小(size)與現貨的大小不一定要相同。當期貨價格變化較現金價格變化小時，期貨部位應多於現金部位；反之，若期貨價格變化較現金價格變化大時，期貨部位應較現金部位為小。
令
1.
上述有兩點說明：
(1)如假設目前期貨價格為在T時之期貨價格的不偏估計量
即
在持有成本市場，上式代表儲存成本
(2)如商品係可交割而持有至到期日時
預期利潤與原始基差成正比
一般而言， (cross-hedge時) ,所以實現的利益不一定等於預期利益。此對於cross-hedge尤然。
Optimal cross hedge為選擇最適當的期貨數，使利潤的選擇變異達到最小
2. Optimal hedge ratio
令 （4.7）
兩邊求變異數
為 對 迴歸之係數
五、Optimal hedging：OLS regression Approach
1.利用下列regression equation
(4.10)
式中 即為Optimal hedge ratio
將 (4.10)代入(4.7)中，得
若選擇 ，則避險組合的利潤與期貨價格無關
若 ，表示期貨價格與現金價格同步
若 ，表示期貨價格與現金價格無關
2. Hedging effectiveness
fully effectiveness hedge 只有在 時才成立。
Ineffectiveness of hedge = hedged portfolio 之價格變異數 對未避險組合(unhedged portfolio)之價格變異數之比
Effectiveness of hedge
此即為迴歸式(4-12)之修正判定係數(adjusted R-square)
3. Hedging with several futures contracts
OLS方法可推廣至利用多種期貨合約來避險。
例如corporate bond portfolio因對利率與股票市場風險都很敏感，所 以可利用利率及股票市場來避險。（如用T-bond futures , S&P500 index futures來避險）
六、Estimating the hedge Ratio
1. Price changes, Price change intervals, and Other Issues
利用迴歸法，求hedge ratio時，一項重要的決策是價格變化的時間應多久最適宜？
常用的Price change intervals有daily , weekly , biweekly
如果研究期間固定（如一年），通常會認為價格觀測值愈多，則資訊愈多。因此，用來求cash prices與Futures prices的共變異數也愈準確，但預測值愈多，也產生若干問題
(1)交易價格一般是bid或ask price，期間愈短，bid與ask price之變動也越隨機；因此迴歸求得的hedge ratio可靠度愈低。
bid / ask effect會導致價格變化的負相關及錯誤變數的問題
(2)現貨與期貨不同時交易的問題（交易頻率不同）
(3)證券價格變化的季節性問題，例如週末效應將產生heteroscedasticity的問題
2. Hedging with a single Futures contract
Consider a portfolio manager 有$50M in stock portfolio similar in composition to the S&P500 index at end of 1989，利用S&P500 futures contracts來避險
設1989/12/31 S&P500 index=353.4
number of units of stock portfolio=$50,000,000/353.40=141,482.74
1 S&P500 contract size = 500 index
number of units of Stock portfolio expressed in the denomination of futures contract=141,882.74/500=282.97
所以 Optimal hedge ratio (weekly data)=0.9914
optimal number of contracts to sell is:
0.9914 282.97=280.54 contracts
3. Hedging with two Futures contracts
Consider hedging $10,000,000 worth of Mobil Oils 8 % Coupon bond maturing in 2001. Corporate bonds have both long-term interest rate and stock market exposure；所以，利用CBOT T-bond futures 與CME S&P500 index futures 來避險：
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